http://www2.bbweb-arena.com/iba/index.htmのサービスってありえるんでしょうか？

「星に名前をつける」ということに公式な意味はない、ということさえきちんとユーザが知っていて利用するのなら、楽しいサービスだと思います。

しかし、ご質問のサイトは、ユーザをだまそうという意図が感じられる、悪質なサイトに見受けられます。理由を説明します。

このサービスでは、登録料を払うと星の名前が「Universal Star Catalog」に登録されるとしています。「Universal Star Catalog」が、あたかもスミソニアン天体物理観測所（SAO）によって管理されているような印象を植え付けていますが、実際にはそうではありません。

スミソニアン天体物理観測所（SAO）は、確かに「SAOカタログ」という星のデータベースを作成しています。もちろんこれは権威のあるものですが、このデータベースでは、星の名前は「SAO35789」のような形で番号で呼ばれるだけです。

そして、このデータベースは学術目的のものなので、誰でも無料で入手でき、それをもとにした自分のデータベースを勝手に作成できます。この会社では「SAOカタログ」をもとにした、自社で管理する別のデータベース「Universal Star Catalog」を作成して、それに星の名前を登録します、といっているだけです。

ですから、サービスを提供している会社が独自に星の名前を管理するだけであり（著作権だけはあるわけです）、この会社以外では誰もそんな星の名前を使ってくれるわけではなく、会社がつぶれればそれとともに名前も失われます。

また、1さんの回答のとおり、別の会社がやっているサービスでは、同じ星に別の名前がつけられる可能性もあり、そうなっていても誰もわかりません。

同種のサービスが他にも多数あります
おそらく規制する法律や規則がないのでしょう

その星を主星とする宇宙人が文句を言えないからかもしれません(いるかどうかも現時点ではわかりませんが)
しかしこの主のサービス間で連絡を取り合っているかどうかは気になるところです(同じ星にいくつか名前がついてるってことはないのでしょうか？)