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　[お気に入りのブログ]プラグインに自分の好きなブログを登録・申請するにはどうしたらいいのでしょうか？教えてください。

右上の検索フォームから「お気に入りのブログ」で検索するといくつかヒットするのでそちらも参考にすると良いと思います。

またヘルプのこちらに一応説明があります
http://helpguide.livedoor.com/help/blog/qa/grp43#2...

自分の好きなブログを登録・申請するには
・自分の好きなブログが「読者になる」ボタンを表示しており、そのボタンから申請して承認される必要がある
・また同プラグインを使うためには、相手のブログもLivedoorである
などの条件が必要です。
ちなみに読者になるボタンは「新プロフィール」か「読者一覧」プラグインで表示できます。

もし相手のブログが他サービスであるとか、読者ボタンを表示してないなどであれば、リンク集プラグインを使えばとりあえずリンクすることはできます。

「読者一覧」はそのブログをお気に入りブログとして登録している人の一覧ですから、自分で他人を（勝手に）読者として登録することはできないようです。また相手の読者一覧に（自分が）載りたいというのであれば、申請して承認されれば登録されると思います。