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貨幣大試験について教えて下さい
例えば、100円硬貨だと、1000枚の重さを量って、規定の重さ（4.800g×1000）から16グラム以内にズレが収まっているかを見るそうです。これって、平均しか見てなくて、ほとんど意味がないように思えるのですが、そこに何か根拠となる理論（例えば、1枚あたりの分散は必ずある範囲内にあるとか）があるのか教えて下さい。ニュースソース：
回答(3)
1.
『X が平均μ，標準偏差 σ の正規分布に従うならば，大きさ n の無作為標本に基づく標本平均（Xの平均値）は，平均μ，標準偏差 σ/√n の正規分布に従う』
n ＝１０００ならば、標準偏差はもとの標準偏差の１/３１．６になります。３σ の値も１/３１．６になります。
本来の１/３１．６の標準偏差のときに０．０１６g以下の誤差ということは、一個あたり４．８gが０．０１６×３１．６＝０．５gの誤差にあたり、正規分布では確か９７％が３σ の範囲に入る事から考えて到底考えられないことです。
つまり、この基準で１０００個の重さを１６g以内の抑えれば間違うことは実質的にありえないということです。
ご回答・コメントありがとうございます。
いろいろ計算させてしまって申し訳ありません。このセレモニーは私は税金の無駄だと思いますが、興味を持っている人は少ないようですね。造幣局が不透明では、お金の流れは透明にはならないのでは、というのは冗談ですけど、品質管理ができているというパフォーマンスをやるなら全てのデータを開示してほしいものです。
2.
造幣局はどの程度の「粗悪品」を許容しているのかわからないですし。
たぶん新品の貨幣の重さは正規分布しないと思います。
usaさんご指摘の３σであれば９９．７％におさまります、が０．３％も粗悪品だしたら多すぎます。
ＧＥやモトローラ、東芝は「６σ」ですから１００万個に３個から４個です。
多分粗悪品がはいっているとすれば１０００個全部粗悪品だったり１個だけ倍の重さだったり（バリが取れてないとか）するのでないでしょうか？
１個あたりの分散／偏差は極めて小さいが現れたときは大きいので１０００個単位でみれば十分なんでしょう？
ちがうかな？？？？
3.
すいません。教えてさし上げたいのですが、全く知らないので、お教えすることができません。
これが、私の「回答」です。
更に、スイマセン！ 半分、「ナレ」目当てです。
コメント(19)
例えば、5.000gの100円玉500枚と、4.600gのが500枚でも、混ぜちゃうと4800gなので、この試験はパスできます、という話です。
上記の回答の説明のとおり、１００円玉一個の重さは製造品質上、４．８gからのズレが多少あってもごく微量であるように製造されています。新規製造された硬貨が５gのものと４．６gなどと大きなズレのあるものがしかも同数入っている可能性は皆無に近いとみてもよいと思います。これは、１０００個の１００円玉を計る時にはその１００円玉１０００個は無作為に選ばれると想定しているからです（作為的なことをやれば勿論結果は変わります）。新規製造の硬貨の製造品質試験ですから非常に間違いない試験と思われます。これは偽造硬貨が入っていないかを試験するものではありません。
テリー・ギリアムさん、回答１に書いた意味は、このテスト基準では一個当りの重さのズレに直すと「本来４．８gであるべき硬貨の重さが４．３gから５．３gの間に入っていない」と等価であり、硬貨の製造品質は技術的にもっともっと高精度でできるはずだから（例えば４．７９gから４．８１ｇとか）この場合の標準偏差の３倍よりも分布のずっと先の裾野にあたるはずだと言う意味です（３σに入ればいいなどという意味ではありません）。
例えばで製造精度が４．７９gから４．８１ｇだとすると現テスト基準の４．３gから５．３ｇとは大違いであり、６σよりも信じられないくらい先の５０σに当たると思います（製造精度が信じられないぐらい悪くて４．７ｇから４．９ｇとすれば５σ）。
いずれにしても、目に見えるような機械的ロット不良でも出さないかぎリ、１０００個でまったく十分と思います。
もう一つコメント。「新品の貨幣の重さは恐らく正規分布する」と思います。譲って正規分布でなく歪んでいたとしても１０００個も計って平均すれば誤差はきれいな正規分布になります（拡張版の中心極限定理とでも呼ぶのでしょうか）。
もう少し知識の前提条件を緩めてご回答お願いしたいです。
「100円玉1000枚の重さを量ったら4816gだった」
としましょう。このことから、何がわかりますか？
★オニキス☆さん、今晩は！「100円玉1000枚の重さを量ったら仮に4816gだった」としたら、一枚の硬貨の平均の重さが４．８１６gもあったことが分かります。こういう実験を多数回やった場合には、恐らくこれほどのズレが結構起こるくらい１０００枚の硬貨の重さの平均値の標準偏差が大きいと考えられます。
このことは「１枚の硬貨の重さを何回も量ったら重さが５．３gであることが同程度の確率で起こる」ことを意味します（中心極限定理により１０００個の硬貨の重さの平均値の標準偏差は１枚の硬貨の場合の１/３１．６になると分かっているから、逆に１枚の場合のズレは０．０１６×３１．６＝０．５０５６で、４．８＋０．５０５６＝５．３０５６gです）。どこかおかしいでしょうか？（私の言いたいことは実際の製造精度はこんなに悪いはずがないから１０００枚の重さを量っても４８１６gなどという結果になる確率は限りなく０に近いということです）。
「中心極限定理」の言うところは、簡単に言えば、同じものの長さを２-３回計って平均値を出すよりももっと多数回計って平均値を出した方がずっと誤差が少ない測定が出来るというようなことです。
ものわかりが悪くて申し訳ないです。
「限りなくゼロ」はどのくらいで、どういうふうに計算できるのでしょうか？
「サンプルの数が多いほど、元の平均にサンプルの平均が近くなる」というのは「大数の法則」ですね。
「1000枚とったときに、サンプルの平均と元の平均との差が正規分布（0,σ^2/1000）とみなせる」というのは、「中心極限定理」の主張だと思っていいわけですね。もう少し言うと、元の分布が正規分布であることは仮定する必要はないのですね。（まぁ、ごちゃまぜになってるはずなので、元の重さも正規分布なのでしょうけど・・・。）独立かどうかはちょっと気になりますけど、独立だと思うことにします。
サンプルの平均は、#6の場合、4.816gというのはわかります。そこから、元の分布のパラメータをどのように推定すればいいでしょうか？
＃記号を使って頂いた方がいいかもしれません。
１．「大数の法則」の理解はそれで正しいです。
２．「中心極限定理」は大数となった場合に誤差が正規分布になることを言っています。一般に習う「中心極限定理」ではもともと正規分布に従うことを前提としますが、「拡張された中心極限定理」ではもともとの分布は正規分布でなくてもＯＫです（指数分布でも一様分布でもまったく構いません）。独立であることは仮定しています。
３．現実には１０００枚で４８１６g以上になることは「限りなく０に近い」ということは、＃４で書いたように、一枚の硬貨の製造精度が例えば４．７９gから４．８１ｇを保証できるのならば、上記の４８１６gは標準偏差が小さくなった正規分布の５０σぐらいに相当するので、５０σよりも先になる確率は限りなく近くなります。
４．「100円玉1000枚の重さを量ったら4816gだった」という一回の測定だけでは「こういうことが一回でも起こるということは元々の硬貨一枚の製造精度がかなり悪そうだ」と言えるだけで、元の分布のパラメータを同定することは出来ません。１０００個の硬貨の重さを何回も計って分布を推定できれば勿論できますが・・・（要するに、一個の時の重量の分布が分かれば、１０００個の時の重量の平均値の分布が分かり、それに従う場合の４．８１６g以上になる確率が計算できるということです）。今夜ももうじき夜の一時なのでこの辺で。
こちらは翌日ですが、続きです。一枚の硬貨の製造精度は左右３σ（確率９９．７％）で４．７９gから４．８１gの間に入るとします。こういう硬貨１０００枚で平均重量を求めた場合には中心極限定理により標準偏差が１/３１．６になるので、一個の場合の３σ＝０．０１が１０００個平均の場合には３σ＝０．０００３２７になります。ところで、１０００個の平均重量４．０１６gではズレが０．００１６ｇなので、０．００１６/０．０００３２７＝５０となります。即ち、一個の場合の３σの５０倍である１５０σとなります。
実は、昨日までの議論は考えやすいように「一枚の硬貨の製造精度は左右１σ（確率６８．３％）で４．７９gから４．８１gの間に入るとしてました。この場合には、同様の計算で４．８１６gという値は５０σに当たることになります。いずれにしてもそういう事象が起こる確率は限りなく０に近いです。これでお分かりいただけるでしょうか？
なんだか知らない間に議論が進んでしまっているようです。ＵＳＡさん、失礼いたしました。べつにＵＳＡさんを批判する意図はまったくございません。おっしゃってることはよくわかります。
わたしがここで疑問提起するとややこしくなるかもしれませんがさせてください。
５０σを超えるというと常識的には「ありえない」を指す数値だと思いますが限りなくゼロに近い事象を想定して検査するのはなぜなんでしょう？
そもそも１６ｇはどこから計算されたものなんでしょうか？造幣局のかたに聞いてみたい！！
お二人ともお付き合い頂いてありがとうございます。
数学の話になってしまったのですが、私の疑問というか不満は、テリー･ギリアムさんもおっしゃられている通り、この試験は前提条件がなければ意味がないというか、予めわかっている値がいくつかあって、それを元にやっているはずなのに、財務大臣を造幣局まで呼んで「大」試験などと称してやるのは滑稽ではないか、ということです。しかも、量るのは重さだけというのは、金貨じゃあるまいし・・・と思ってしまうのです。内部でちゃんと品質管理は行われていると思いますので、この試験の基準はそれなりに正しいはずですが、それなら別途やるのは無駄かなーと考えてしまいます。
＃あまりおもしろくないネタだったかと反省してます。。。
いえいえ、お二人さん、構いませんよ。久しぶりに統計計算をやりましたよ。何故いまだにこんなこっけいな（前時代的な）テストをやっているのだろうという疑問は正当と思います。前時代からのセレモニーなのでしょう。こういう疑問を持つことはいいことです。
世の中どんどん変わり、無人戦闘機を飛ばし遠隔でボタンを押してロボットの目で見る相手を殺せるような戦争の時代に、時には大臣を呼んで昔ながらのセレモニーというのも昔を思い出し何かの反省になるればそれなりの意味があるでしょう。
>>3
じゃあ、目的の半分は何なのかって話ｗ
小学校のとき、授業で手を上げて、指されたら「わかりません」と言っていた子がいたのを思い出しましたよ。もう少しオープンにしておきますので、回答を削除することをオススメします。ご自身の品格が疑われますよｗ
＃もう遅いかもしれませんが・・・ｗ
「オニキス」さんへ
あと半分は、「後学のため」です。
どこかのページから、迷い込んできました。
たぶん、「usa」さんのページかもしれません。
また、「人格」とか「品格」が、「疑われる」という「ご親切なアドバイス」も、有難う御座いました。
手を上げて、「分かりません」というのも、『ひとつの「答え」或は「答え方」で良いのでは？』
そこで、その質問をした「教師」「先生」は、「何を思い」「どう反応」するのか・・・？！
それも、まあ、ひとつの「答え」方か?
「オニキス」さんへ
あと半分は、「後学のため」です。
どこかのページから、迷い込んできました。
たぶん、「usa」さんのページかもしれません。
また、「人格」とか「品格」が、「疑われる」という「ご親切なアドバイス」も、有難う御座いました。
手を上げて、「分かりません」というのも、『ひとつの「答え」或は「答え方」で良いのでは？』
そこで、その質問をした「教師」「先生」は、「何を思い」「どう反応」するのか・・・？！
それも、まあ、ひとつの「答え」方か?
>>#19
このことから何を学ばれたのでしょうか？勉強になるならそれはそれで構いませんが・・・。
ちなみに、件の手を上げた子は、担任にしばかれてました。みんなが、同じことをしたら、授業が成り立たなくなるので、当然のことだと思います。
会社の会議で同じことをやったら、プロジェクトから外されるでしょう。
自ら答えることを申し出て、「わかりません」と答えるのは世間一般では「回答」とは認められていないことです。
ナレッジでもまじめな質問に対してそうするのは控えられた方がよいかもしれません。雑談系ならいいと思いますが・・・。
ベストありがとうございました。これからも面白い質問や回答をされて下さい。
