津波は何故起こるのでしょうか？

　地震によって海底面に変位が生じると、すぐ上の海面にも変位が伝わりうねりが生じます。このうねりは、発生場所では波長が長いですが（例えば、１０Km）、波高はそう高くありません。ところが、このうねりが海面の波として周りに伝わっていき、陸地に近づくと波高が増幅されいわゆる「津波」となり陸地に押し寄せることになります。

「津波の高さ」は、水深が浅くなると急激に高くなります。これは深くまで影響されていたエネルギーが水面近くに集中してくるからです。３０ｍ以上にもなることも稀ではありません。一方、「津波の伝わる速度」は水深が深いほど速く、例えば、水深４０００ｍの太平洋では伝播速度は時速７００Kmを越えます。これらのことから、海の深さや海底の地形、更には海岸線の形に大きく影響されるので、単純に震源からの距離だけでは津波の到着時刻や津波の高さは決まりません。

最近では、コンピューター・シミュレーション技術の発達で複雑な地形を考慮した割と正確な地域別の津波予測ができるようになりました。

海底が盛り上がり、その分だけ海面が上昇する。

津波って波のように思いますが、海面上昇なんです。
だから、気づくのが遅れるんですね。

海底面の上昇・下降に伴い、海水の移動が発生し、それが波の伝播（重ね合わせの原理など。高校物理で学ぶはず。ゆとり教育時は知りませんが）に従って海岸線まで移動したものを言います。
ちなみにスマトラ沖地震では、長さ１２００～１３００ｋｍ、幅１５０～２００ｋｍ、垂直方向数ｍ～十数ｍにわたって変位しましたから、変位によって移動を余儀なくされた海水の総量は単純に計算して
３６００億立方メートルに及ぶと思われます（長さ１２５０ｋｍ、幅１７５ｋｍ、垂直方向５ｍの錐体の変位として計算）
これは約１２万立方メートルの東京ドーム３０万杯分にあたり、しかも減衰するまで何度も海岸線を往復しますので（スマトラ沖では延べ地球約８周分）延べ総量はこの数倍に及ぶと思われます（急いで計算したので間違っていたらごめんなさい）。
usaさんのおっしゃる通り、インド洋海面の大半では津波の高さは数メートルで殆ど変わらず、海岸に近づくと急に高くなって多大な被害を及ぼしたのです。
地震で海面に垂直方向の変位が発生したと判断した場合に（地震波の様子で判断できるそうです）、日本では津波注意報や警報などの情報を出します。震源が陸地の場合、または海底であっても垂直変位が小さい場合はこれらの情報は出しません。