livedoorの社名は商標登録されていますか？

左上にある、livedoorのロゴを見てください。
右上に「丸にR」がかかれていますね。

なお日本で登録されている特許などは特許電子図書館で簡単に調べることができます。

特許電子図書館


また、日本以外、例えば米国の登録状況であればUnited States Patent and Trademark OfficeWebサイトで確認できます。
日本では4451585ですが、米国では78695235ということがわかります。

United States Patent and Trademark Office

はい、登録されています。

たとえば、登録番号4890080号です。