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「一日千秋」は、なぜ千春とか千夏とかでなく、
千秋なのですか？

一日千秋（せんしゅう）とは、一日が千回の秋に相当するくらい
長く感じるということだと思いますが、
どうして他の季節ではなく、秋なのですか？
千秋万歳という言葉もありますが、教えてください。

「一日あわないと千年も会わないように感じられる」という待ち焦がれる気持ちです。

この場合、「秋」は季節の秋の意味ではなく、年月という意味です。
「秋」の異体字として「龝」あるいは「穐」とも書きますね。人名では、あきの他に、「とし」とか「とき」と読ませる場合もあるようです。
「春」も同様に季節の春の意味の他に歳月の意味があります。人生の歳月の意味で使う場合には、春は青年期です。青春とかね。
ですから、ご長寿おねでとうの意味の千秋万歳は、春ではなく秋。
逆に、秋を使うと、さしつまった感が出ます。待ち焦がれてる気持ちが、春だと出ませんね。一日千春だと、さかりが付いて、いちんちにたくさん えっちしまくっちゃったぁ～みたいな印象になっちゃう。

残りの夏と冬ですが、これらの字が歳月の意味に使われることはあまりないと思います。

僕の推測。
春は芽吹きのきせつ、秋はもの思いの季節。秋の夜長に考える時間が長くて悩む事が多いから　ではないですか。

ひとつ例をあげました。
「危急存亡(ききゅうそんぼう)の秋(とき)」（危険が差し迫っていて、生きるか死ぬかの瀬戸際のこと）の「とき」に「秋」の字を当てるのは、秋は収穫の季節であり、１年で最も大事な時期という意味で、「まさに今！　ここをおいてほかにない重要な時」、という意味からです。そんな次第で、「春」や「夏」「冬」には、「とき」の意味は含みません。

「一日千秋」、「千秋万歳（千年万年の意で、人の寿(長寿)を祝う語）」も同様に「秋」だけに特別な意味があるからです。