会社の事業に「学校」を入れることはできますか？

私立でも、ふつうは財団法人みたいですね。

例外として構造改革特区での民営(?)の学校はあるみたいです。
例えば、日本語版Wikipediaで「朝日塾中学校」とか探してみてください。

学校法人？　　　　　

民間の会社名で個人事業か法人事業かで分かれるかもしれませんが、まぎらわしい「社名」は、（法人）登記のさい、確認したほうがいいでしょうね。

例えば歯科診療は、～デンタルクリニックはいいけど、
「愛とこころの窓」なんてつけたら、よく分からないので。