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メールボックス整理の為、全てのメールを他社メール・またはlivedoorの他のアドレスのメールボックスに移動（現在の受信ボックスには残したまま）したいのですが、可能でしょうか？よろしくお願いいたします。

自動的にやる方法は思いつきません。
（JavaScriptで自動化できるような気もするのですが、能力と気力のある他の方にお任せします。）

他のメールに移すというより、複製する場合は、そのメールをそちらのアドレスに転送するのが一般的だと思います。

メールを開いて、本文の上と下にある［転送］をクリックします。
そして、「TO:」に送り先のアドレスを入れ、［送信］をクリックすると、確認画面が出ますから「OK」をクリックすれば、転送されます。
そのままでは、件名に「Fw:」が付きますので、気になる場合は、送る前に削除して下さい。

そして、また、一覧に戻ってメールを開いて、と、かなり面倒ですね。

右上のほうにある「オプション設定」をクリックして左上の「詳細設定」をクリックすると、「メール送信時の確認」をしない設定ができ、少しは、手順を省けます。［OK］をクリックして下さい。

もし、メールをPCに保存して管理することが第一の目的なら、メールを開いたら、一番下に「本文ダウンロード」というのがありますから、これを使えば、ダウンロードできます。
そのまま、右にある「前へ」「次へ」で隣のメールに移動できますので、転送に比べてかなり早く作業が出来ます。
ファイル名は「mail.dat」です。
後で分かりやすく変えて下さい。
テキストエディタやワープロなどで開けるはずです。
開かなければ、拡張子を.txtに変えれば良いかも知れません。