お気に入りブログに申請する方法がわかりません。

このあたりを見ると分かるかと思います。
相手方のブログの「読者になる」or「Read Me」ボタンをクリックすると読者の申請作業を行うことが出来ます。
相手方に承認されますと、晴れて「お気に入りブログ」に相手方のブログが表示される運びとなります。
但し、相手方のブログにそのようなボタンがない場合には、読者申請をすることが出来ませんので、相手方のブログを「お気に入りブログ」に登録することも出来ません。

相手のサイトで、まず「読者になる」ボタンを見つけます。

お気に入りブログは、事前の準備も必要ですが、何より相手のサイトへ「読者になる」ボタンがなければ申請することもできません。

# 分からないところがあったら、コメント欄から教えてください。