ブログを再構築すると、URLが変わってしまいます。
また、バナーをコピーしペーストしても、開きません

マウスのコピー・ペーストではできないのでしょうか。
以前、？キーを押しながらCがコピーで、？キーをおしながらVするとできると聞いたのですが、どのキーか忘れてしまいました

質問の意味はよくわかりませんが
マウスでコピーしたい範囲を指定して色が反転したところで右クリックすれば｢コピー･切り取り･貼り付け｣が選べます。

キーボード左下にある｢Ctrl」キーと｢C｣でコピー、｢V｣で貼り付けです。

> ブログを再構築すると、URLが変わってしまいます。

状況と、何がしたいのか目的がよくわかりません。
・・・たぶんですが、記事の中にリンクを貼りたい、ということでしょうか?

どこかのページからリンクタグをコピーしたいけど、それができない?

マウスで文字指定しても色が反転しないとのことですが、背景色と同じになってるだけではないでしょうか。
反転しなくとも気にせずCtrl+Cでコピーを実行してみて下さい。Ctrl+Vで貼り付け可能かも?
それも無理ならIEなら「表示」→「ソース」でソース表示すればメモ帳起動するのでそれでコピーできないでしょうか。

> また、バナーをコピーしペーストしても、開きません

バナー画像をコピー・ペーストしただけではリンクを張ることができるとは限らないと思います。。
WYSIWYGエディタを使っている場合はブログの投稿画面で「HTMLを確認」にチェックを入れるとHTMLが編集できますのでリンクタグを入れることも可能です。(必ずチェックを外してから投稿して下さい)

バナーのリンクタグはこんな感じ。
<A Href="飛ばしたいサイトのURL"><Img Src="画像がある場所のURL"></A>

検討違いの回答ならすいません。
その場合はもう少し詳しく書いて再質問くだされば的確な回答がつく可能性はあると思います。