他のサイトのカウンターをフリーエリアでサイドバーに載せる方法ってありますか？

他のサイトよりカウンターをレンタルし、フリーエリアに貼り付けて、プラグインで設定しました。
その後再構築したのですが、一瞬見えたかと思うと消えて、サイドバーが何も表示されない状態になってしまいます。
どのように設定すればきちんと表示されるようになるでしょうか？

とりあえず再構築してみて下さい。

ブログ管理ページから[再構築]で選択ボックス[全てのページ]を選びます。

再構築でもダメだったら、別のメールフォームに変えたほうがいいでしょう。

忍者ツールなんかが評価高いようです。

> 一瞬見えたかと思うと消えて、サイドバーが何も表示されない状態になってしまいます。

いわゆるサイドバーが落ちたという状態ではないでしょうか。見てみないと何ともいえませんけど。

・タグの閉じ忘れ
・アクセスカウンターの画像の横幅が大きすぎてサイドバーの幅を超えている

などの可能性が高いかと思います。

タグの閉じ忘れないか確認、
画像の横幅大きければ、小さい素材に変更してみる、

そのあと「全てのページ」の再構築

解決しない場合はブログURLをコメント欄に書いて下されば直接見て原因指摘できる人はいるかも。検討下さい。