お蔵入り
考え方からわかりやすく教えられる方いらっしゃいませんか？
当たりくじが150本入っている1000本のくじから無造作に10本引くとき、当たりくじを2本以上引く確率を小数2桁まで求めよ。ここで、ポアソン近似を用い、e^-3/2=0.22とせよ。
ポアソン近似の意味がよくわかりません。
よろしくお願いいたします。
回答(1)
1.
P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)
（C(n,k)はn個のものからk個とる組み合わせの数）
ですが、これを
P(X=k)～λ^k×e^(-λ)/k!
ただし、λ=np（つまり、二項分布の期待値）
というように近似します。（pはnの値によって減少する関数でも構いません。）
E1：「10本引いて、当たりを2本以上引く」
の余事象は、
E2：「10本引いて、当たりが1本または全部ハズレ」
です。
P(E2)=10×150×Perm(1000-150,9)/Perm(1000,10)
+Perm(1000-150,10)/Perm(1000,10)
ただし、Perm=permutation、つまり、
Perm(10,3)=10×9×8
のように読んで下さい。基本的には、計算機があれば、そのままこれを計算して、
P(E2)=0.544
なので、
P(E1)=1-P(E2)=0.456
でいいのですが、手計算でやるのはめんどいので、これを復元試行だと思い込んで、ポアソン近似してみます。
1回引いて当たる確率を150/1000
とすると、10回試行を繰り返すので、
λ＝10×150/1000＝1.5
となり近似式は、
P(E2)～1.5^(1)×e^(-1.5)/1! + 1.5^(0)×e^(-1.5)/0!
=0.55
となって、
P(E1)=1-P(E2)～0.45
となります。
ちなみに、指数関数を厳密に計算すると、
P(E1)～0.442
です。
また、二項分布だとすると、
P(E2)=10×0.15×0.85^9+0.85^10
=0.544
P(E1)=0.456
ですので、くじを戻すか戻さないかというのは、この確率にはあまり影響がなく、ポアソン近似の段階で誤差が出ていることになります。
コメント(7)
わからなければ、コメント下さい。
ところで、このご質問も含め、過去のご質問が全て別のサイトにも投稿されたもののようです。もし、でもそんなの関係ないさんがDS数学板で質問されている方と同じならば、ここよりもそっちで質問された方が数学に関してはいい回答が得られるかもしれません。もし、過去に他サイトで投稿されたのなら、その旨書いて頂くと、よりよい回答が得られると思います。
★オニキス☆さん、またぶつかってしまいましたね。せっかくやったので回答は残しておきます。
>>#3
usaさんと被るのはわかっていましたよｗ
>>2
の近似ですが、その近似の使い方はちょっとまずいです。回答２は本質的に、
(1-150/1000)**10～e**(-3/2)
という近似をしているだけで、それだとこの時点で、結構誤差があって、λ**k/k!の項が効いてこないです。数値を近似するのではなく、分布を近似したいので、10乗に変形してから適用するのはまずいわけです。
＃まさか私がusaさんに確率のつっこみを入れるとは思いませんでしたｗ
以前のように、夜中にナレッジしている人がいたとは！（私にとっては昼間ですが）。 ２－３日前には、１２時間も質問なしの時があってどうしたかと思いました。是非、この場を活性化して下さーい。
大変わかりやすく教えていただき、ありがとうございます。以下の点について、さらに詳しく教えていただければ幸いです。
P(X=k)～λ^k×e^(-λ)/k!
P(E2)～1.5^(1)×e^(-1.5)/1! + 1.5^(0)×e^(-1.5)/0!
=0.55
…の部分がよく理解できません。
解説していただけないでしょうか？
よろしくお願いいたします。
ご指摘のように、私の回答に間違いがあったのでやはり消すことにしました。
>>#6
「～」は近似の記号です。n→∞にすると「＝」になりますが、10回なので近似記号にしました。
P(X=k)=λ^k×e^(-λ)/k!
はポアソン分布の分布関数で、
「単位時間内に平均λで起こる事象がちょうどk回起こる確率」
です。試行回数を多くしていけば、当たり/ハズレの確率は平滑化されていって、そのうち平均だけしか関係なくなっちゃう、という感じで、実際、数式の上でもn→∞では二項分布と一致します。
P(E2)＝10本ひいて1本当たる確率＋10本ひいて全部ハズレの確率 ←二項分布
～（平均1.5回当たるくじの）1本当たる確率＋0本当たる確率 ←ポアソン分布
という意味です。
