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麻雀用語で面子は組み合わせという意味合いがありますから、
それが転じて対戦メンバー（4人で一組という組み合わせ）
という意味合いで使われるようになり、
さらにメンバーという意味合いのスラングとして
面子という言葉が広がっていったのではないかと思います。

ただ、面子には他の意味もあり、
麻雀をしない人には
ひまな素浪人さんの書かれておられるように
面子といえば「バツ（体面）」と思われてしまいますから、
メンバーという意味で使う場合、
相手を選んだ方がいいと思います。

（とはいえ、麻雀をしない人の中にも、
面子＝メンバーというスラングが理解できる人も
多いとは思いますから、
会話の内容からどちらの意味でとられたかを察知し、
認識が違っているようなら面子＝メンバーと
それとなく伝えるというのもいいかもしれません。）

回答２補足：　言葉の生い立ちは、ニームさんがご説明のとおりです。

マージャン以外でも、今、何かをやろうとしているときにメンバーが足らなければ「メンツいないの？」となります。例えば、一緒にゴルフを予定している時、カラオケに行こうとしているとき、一緒に食事にゆくメンバーを募っているときなどは「メンツ探し」です。。何かを一緒にやろうという時に使うので、そうでないないとき（例えば、クラブのメンバーは総勢何人ですか？）には使わないと思います。

Yahoo　辞書（たぶん大辞泉）でメンバーの意味がなかったので、質問しました。「ばつ」を「使えない（不正解）」の意味で使ったつもりなのですが、「ばつ」が悪い、の「ばつ」の意味にもとれるんですね。ははは。

マージャンが由来だったとは知りませんでした。