お蔵入り
論理式がわかりません。
X + Y + _( ( X + _Y ) * ( _X + Y ) )が、どうして
X + Y + _( ( X * Y + X * _Y + _Y ) * ( _X + _X * Y + X * Y ) )
になるか、教えてください。X * Yと_Yと_Xと_Y は+で結ばれているので、もとの式と関係はなく、計算のためにあるのですか？
_は否定です。
回答(1)
2.
"_X" は "X以外のすべて"という意味と理解しておいたほうがよいです。
そうすると、
X + _X は "XとX以外の全てのOR結合"なので、
結局"(世の中の)全て"と言う意味になります。
これを念頭におくと、
たとえば、
Y*X + Y*_X
は
Y*(X + _X)と変形できますが、意味は
"Yと世の中の全てのAND結合"となるので、結局Yになります。
(世の中の全てとAND結合しても、何も変化しない)
まとめると、
Y*X + Y*_X = Y です。
XとYを入れ替えても同じですから、
X*Y + X*_Y = X でもあります。
これを最初の式に入れれば、
X + Y + _( ( X + _Y ) * ( _X + Y ) )
= X + Y + _( ( (X*Y + X*_Y) + _Y ) * ( _X + (Y*X + Y*_X ) ) )
= X + Y + _( ( X*Y + X*_Y + _Y ) * ( _X + Y*X + Y*_X ) )
= X + Y + _( ( X * Y + X * _Y + _Y ) * ( _X + _X * Y + X * Y ) )
となります。
（最後は * や + 演算の順番を入れ替えただけです）。
コメント(44)
説明は回答で尽くされていると思いますが、もし、感覚がわかないようであれば、↓のように各項を表に一度書き出してみると、どこが同じになっているのかわかりやすいかもしれません。
X｜Y｜~X｜~Y｜X+~Y｜・・・
0｜0｜1 ｜ 1｜ 1 ｜・・・
0｜1｜1 ｜ 0｜ 0 ｜・・・
1｜0｜0 ｜ 1｜ 1 ｜・・・
1｜1｜0 ｜ 0｜ 1 ｜・・・
では、世の中にXとYしかなかったら、_XはYや、XとYどちらにも属さない部分は同じなのですか？
>>#3
「世の中に」という言葉がひとり歩きしていますので、そう考えない方がいいでしょう。abcosmeticさんのX+~Xの説明は「AND結合しても、何も変化しない」ものであり、それは普通の掛け算でいう1なので、imqさんは、
Y + ~Y = 1
という風に書いています。私の#1の表の続きで試してみればわかりますが、どの入力に対しても1になります。
もし、まじめに考えるなら、考えている問題は、
{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}→{0,1}
という変換が世の中全体になります。でもそういう抽象的な記述をしても、あんまり嬉しくないですよね？ｗ
まぁXとYだけで、4行書けばいいだけなので、０と１を埋めて眺めてみた方がいいですよ。所詮16種類なので。
>>#3
~XはXに属さない部分で、Yとは無関係です（論理否定）
XとYに属さない部分は~(X + Y)ですね（論理和の否定）
ベン図を書くと分かりやすいです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%B3%E5...
↑この例だとXとYをそれぞれPとQとなっています。
もし、世の中にＸとＹしかないのであれば、
ＸでなければそれはＹなのですから
_X は、Ｙに属するということでいいと思います。
なんですけどね＾＾
そっちに話が行くと収束しないような気がして＾＾
高校でやった集合のように、まず、変数が３つでも、ベン図で表す場合は３つとも重なり、それぞれ２つが重なる。つまり重なり合っている部分が４つであることが前提ですね。
このように書くことはあまりないかもしれませんが、X ・Y・(X+_X)と、X・Y・(Y+_Y)と、X・Y・(Z+_Z) は同値ですよね？
#7さん、もし、世の中にＸとＹしかないのであれば、
ＸでなければそれはＹなのですから＞
Xでなくても、XにもYにも属さない部分はありませんか？
>>#10
その議論はこの問題に対して無意味ですよ。。。「もし」とかじゃなくて、ブール代数の2項演算の「世の中」は#4に書いた通りです。XとYの取り方で値が決まるのだから、単純にベン図を書くと解釈に悩むことになります。
>>#10 Xでなくても、XにもYにも属さない部分はありませんか？
X と Y しかない場合
X にもY にも属さない部分は
#5 さんの仰る通り _(X + Y) だと思いますが、
この(X と Y しかない)場合空集合(Φ)だと思います。空集合をあるとするというより、単にないと言うのが(数学的に自然と言うより感覚的に)自然だと思います。
例えば、袋の中に赤玉と白玉をいれます。
世の中(袋の中)には、X(赤玉)とy(白玉)です。
今、赤玉(X)を取り出しました。
袋の中には赤玉と白玉しかないということがわかっていますから、
袋の中には白玉が残っていると推測できます。
つまり、赤玉を取り出した時には赤玉でないモノが残っているわけですがそれは白玉です。
白玉と白玉(と赤でもないもの)以外が残っているなんて言わないでしょう？
そうですね。 たしかに X・_X=０ も、「男かつ女」＝０で、男でも女でもない人はいないという前提がありますよね。 ということは、論理回路では、高校の数学Aで習ったこととは違い、XとYのどちらにも属さない部分は０になり、存在しないということですか？
>>#13 論理回路では、高校の数学Aで習ったこととは違い、XとYのどちらにも属さない部分は０になり、存在しないということですか？
仰ることがよくわかりません。
よければ、「高校の数学Aで習ったこと」で矛盾するという部分について教えて下さい。
#7以降基本私のコメントは、質問についてではなくて、#3についてですけど・
コンピュータ(論理演算)の世界では、多値を扱うようなモノでなければ一般的に１と０だけを扱います。
０の論理否定は１であり、１の論理否定は０であるということになっています。
これは、０と１だけを扱うという前提があるからです。
プログラムの世界では、
偽と真とを
０と０以外というように表す場合があります。
この場合、真とは１とは限りません。
すみません。
私の余計な入れ知恵でドツボにはまってしまったみたいで。。
論理的には皆さんのコメントで出尽くしていますがイメージしにくいみたいなので付け加えました。
>>#13
1987さんの例に合わせるなら
「属す」は「1」という値を持つことで、
「属さない」は「0」という値になります。
「X」が「男性かどうか」という条件を表すなら
「女性かどうか」という条件は「男性かどうか｣の反転なので「~X」です。
もう1コの条件「Y」は性別以外（Xとは無関係なもの)にする必要があります。
「Y」を「成人かどうか」とすると、
同様に「未成年かどうか」という条件は「~Y」です。
これを踏まえて例を挙げると
「男性かつ未成年」かどうか（条件のみ） → X + ~Y
「男性かつ未成年」に属す（条件が値を持つ） → X + ~Y = 1
つまり1987さんの言う「XでもYでもない」という条件は
今回の例では「男性または成人」以外の人かどうかを表していて、
~(X + Y)
という式になります。
これが必ず0という値を持つように思われているようですが、
「女の子は一人もいない」という条件が常に成り立ってしまいまうので間違いです。
常に値の決まる条件というのは例えば、
Y * ~Y = 0
「成人かつ未成年｣という人はいないからから、
X + ~X = 1
「男性または女性｣はすべての人だから、
X + 1 = 1
「男性またはすべての人」はすべての人だから、
Y * 0 = 0
「成人かつ誰もいない｣は誰もいないからです。
「X」が「男性かどうか」という条件を表すなら
「女性かどうか」という条件は「男性かどうか｣の反転なので「~X」です。＞
XとYは全く異なったことでもいいのですね。 それはもちろんXの中に男と女の２通りしかない前提ですよね？ それとも、３通り以上の事柄があってもいいのですか？
皆さん書いていますが、
論理式の場合、値は「0」と「1」の2通りです。
先ほどは「属す｣「属さない」と例えましたが、
「正しい｣か「正しくない｣かを「1」と「0」で表すと言った方がいいかもしれなかったです。
3通り持てるのは条件の方です。
その場合「X」「Y」「Z」のそれぞれが「0」か「1」の値を持ちます。
コメント#11にもありますが、
XとYは関連性のない条件にしないと、XとYを設ける意味がないですね。
#22 では、0の「誰もいない」とは、XとYのどちらにも属さない人のことですか？
>>#23
ちょっと整理しておきたいのですが、
imq さんが仰るX Y とは、２つの状態を取り得る変数のコトです。(なので、X の取り得る状態がどうであろうとY の状態には関係ないということになります。)
それで、
#4 で仰る２種の状態×２種の状態で全てで４つということになります。
私のいう(＃３での解釈としての)X と Y は、変数ではなく実体です。
それは、メロンとりんごでも白玉と赤玉でもよいですが、「変数的な：取り得る可能性を含んだもの」ではありません。
もし、変数的に取り扱うとしても、
「XとYしかない」という前提からすると、
Y が実はXであったり、YがXであったりすると
X しかない(あるいはY しかない)ということになり、題意を満たしません。
ついでにいうなら、
「世の中にXとYしかなかったら」
という時
X と Y を命題(２種の関連しない条件)であるとみなすのはムリがあると思います。
「世の中に(男性かどうか)と(未成年かどうか)しかなかったら」
なんていわないでしょう？
あれ？
出題はXとYが0か1の値を持つ普通の論理式ですよね？
#3が1987さんの勘違いだと思って説明してきましたが、
私が勘違いしてたかな？？
＃２２の例では、Xが男性 _Xが女性ですよね。つまり女性は、ベン図のXの外にいる（成人か否かも同様に）ということですか？
では、#２２をベン図にすると、ベン図内のどこにいても、そういった人は存在するので、４通りすべてが１になりますか？
それとも、１か０は（男であるを１としたら女は０のように）その題意と比較して決めているのですか？
#14のご回答の「０の論理否定は１であり、１の論理否定は０であるということになっています。
これは、０と１だけを扱うという前提があるからです。」となると、女性と未成年はすべて０になりますよね。
ベン図が却ってややこしくしてしまったようですね＾＾；
「ベン図のどの位置でも存在する可能性がある」というのはもはや条件としては成り立ちませんよ！
だってXという条件で正しければ（1なら）
~Xという条件では正しくなくなる（0になる）から。
その辺はとりあえず捨て去って、ベン図では
「条件式は塗りつぶされるパターンで表される」
ということのみに使うのがいいと思います。
つまり
式が違っても塗りつぶされるパターンが同じなら条件は同じになるその確認にベン図を使ってください。
ちなみに論理式をベン図に置き換えた場合において、
「1」というのは領域全体が塗りつぶされる状態、
「0」というのは領域が全く塗りつぶされない状態
を指します。
それぞれの意味は、XとYとは無関係に
常に正しい（=1）か、
常に正しくない（=0）か、
ということです。
更に補足すると、
条件式中の
1と0は定数
XとYは変数
です。
条件式に1と0があるのと
XとYが0～1の不定値を持つ
ことを混同しているようです。
#22にある
常に値の決まる条件というのは例えば、
Y * ~Y = 0
「成人かつ未成年｣という人はいないからから、
X + ~X = 1
「男性または女性｣はすべての人だから、
X + 1 = 1
「男性またはすべての人」はすべての人だから、
Y * 0 = 0
「成人かつ誰もいない｣は誰もいないからです。
で、０になる２つのケース（Y * ~Y = 0とY * 0 = 0）はベン図のどこにも存在しません（成り立ちません）よね。だから０になるのではないですか？
ただ、男性が１で女性が０というのとも解釈が違うのですよね・・・。女性は０でも存在はしているから。
>>#38
前者の解釈は正しいです。
上の4つの式は恒等式で、
無条件に「常に成り立つ」ものです。
これを使って元の質問にある
X + Y + ~((X + ~Y) * (~X + Y))という式を変形させていきます。
＞男性が１、女性が０
これは「X」（男である）という条件式が持ちうる値です。
X = 1
X = 0
…と変数に定数を代入している事を指します（恒等式ではないです）。
あと気になるのが
「男性が１で女性が０」
と端折った表現をしていますが、始めの内は勘違いしやすいので、
「男性である」という条件（命題）に対して
正しいときが１
正しくないときが０
という感じに、正しいか正しくないかで考えるようにするといいです。
参加しない方が良いような気がしますが、ココだけ
＞#14のご回答の「０の論理否定は１であり、１の論理否定は０であるということになっています。これは、０と１だけを扱うという前提があるからです。」となると、女性と未成年はすべて０になりますよね。
えっと
「男である」は、条件で、
あるＸが男であるか否かということです。
男であるなら真で
男でないなら偽です。
この場合のＸにあてはまる要素(属性)は「男」または、「女」で、「未成年」を当てはめても意味がありません。（強いて言えば偽でしょうが）
もし当てはめられるとしたら、
「男」「女」「未成年」の３値があることになります。
整理なんですが
男、女，成年、未成年をごっちゃに扱うことは、おかしかないですか？
例えば、そういう世の中(集合)は、
人という集合で
その中には男,女,成年,未成年という属性(部分集合)があります。
男と女あるいは成年,未成年は排他的で共通部分(同時に持てる属性で)はありません。
というような世界の話なんでしょうか？
では、＃41より、全て（#1で出てきた１６通り）の論理式次第で、その論理式の１か０が決まるのですか？
Y * ~Y = 0など、その論理式が成り立たなければ０になるのですね。
>>#45 では、＃41より
「では、＃４１より」の意味がわかりません。
話つながってますか？
>>#45（#1で出てきた１６通り)
１６通りじゃないように思いますが・
>>#45 その論理式の１か０が決まるのですか？
論理値(0,1)を表すＸ，Ｙの組み合わせは２×２で全てで４通り
Ｘ，Ｙで表す論理式はＸ，Ｙが決まれば１か０が決まる。
>>#45 Y * ~Y = 0など、その論理式が成り立たなければ０になる
Y * ~Y = 0 は、恒等式、(Ｙがどのような値をとろうとも)常に成り立つ。
え～、
今現在、わかっていること、わかっていないことを整理されたらどうでしょうか？
#44の論理値(0,1)を表すＸ，Ｙの組み合わせは２×２で全てで４通り＞
これは、ベン図の４箇所（_(X+Y), X・_Y, X・Y, _X・Y）のことですよね。 それと#22の
常に値の決まる条件というのは例えば、
Y * ~Y = 0
「成人かつ未成年｣という人はいないからから、
X + ~X = 1
「男性または女性｣はすべての人だから、
X + 1 = 1
「男性またはすべての人」はすべての人だから、
Y * 0 = 0
「成人かつ誰もいない｣は誰もいないからです
の論理式を一緒に考えていいですか？
＞ベン図の４箇所（_(X+Y), X・_Y, X・Y, _X・Y）のことですよね。
これが違います。
なぜこのように飛躍してしまったのか分かりませんが、よく意味を考えれば違うということは分かると思います。
ベン図はあくまで条件式が図形パターンで分かるということだけです。
XとYに0～1の値を代入するようなことにはここでは使えません。
恒等式はXに（もしくはYに）0が入ろうが1が入ろうが常に成り立つということです。
代入式ではないので、こちらはベン図上で確認できます。
そうすると、ベン図の４箇所（_(X+Y), X・_Y, X・Y, _X・Y）を _(X+Y)=1, X・_Y=1, X・Y=1, _X・Y=1 とは書けないということですか？
一方
Y * ~Y = 0
「成人かつ未成年｣という人はいないからから、
X + ~X = 1
「男性または女性｣はすべての人だから、
X + 1 = 1
「男性またはすべての人」はすべての人だから、
Y * 0 = 0
「成人かつ誰もいない｣は誰もいないから
では、0か１を決められるのですね。この４つも論理式ですよね。
前者は今回の設問においては書けないです。
問題文のどこにも~(X+Y)=1という値を代入する設定する条件がないからです。
何度も言いますが、こういう代入式はベン図上では確認できません。
コメント#1は動作を理解するために用いています。
XもYもあるいは~(X+Y)も、0と1のどちらの値を持つかは不定です。
常に成り立つわけではありません。
後者は値を代入しているわけではなく、「常に成り立つ」ということですので、
同じ論理式でも前者の式とは意味合いが違います。
#1は真理値表で、ベン図の４箇所（_(X+Y), X・_Y, X・Y, _X・Y）を _(X+Y)=1, X・_Y=1, X・Y=1, _X・Y=1 と書くのも真理値表を書いているようなものですか？
#50の「常に成り立つ」とは何ですか？
Y * ~Y = 0 と Y * 0 = 0は成り立っているといえるのでしょうか？ 偽ということが成り立っているという解釈ですか？
＞真理値表を書いているようなものですか？
そのようなものです。
＞「常に成り立つ」とは何ですか？
理屈は#13で理解いただけているものと思いますが、
Yと~Yには共通部分がないのでANDをとると無くなってしまうから、
Yがどんな値を取ろうと常に成り立つといえます。
表現を正確に書くと
Y * ~Y = 0は成り立っていると言えて、
Y * ~Yは偽ということが成り立っていると言えます。
そうしますと、＃５２の解釈で、「成り立たない」というケースはあるのでしょうか？
論理式は
Y * ~Y = 0
「成人かつ未成年｣という人はいないからから、
X + ~X = 1
「男性または女性｣はすべての人だから、
X + 1 = 1
「男性またはすべての人」はすべての人だから、
Y * 0 = 0
「成人かつ誰もいない｣は誰もいないから
以外にもありますよね。
はい、以外にもあります。
元の質問がまさにそれですね。
X + Y + ~((X + ~Y) * (~X + Y)) = X + Y + ~((X * Y + X * ~Y + ~Y) * (~X + ~X * Y + X * Y))なのです。
成り立たないケースは挙げてもきりが無いし、
今回の設問に対しては考慮しない方がいいです。
