会社に来るメールをWEBメールに自動転送したい。

会社でマイクロソフトアウトルックのメールソフトを使用していますが、社外のPC、形態で自由にメールチェックをしたいのですが、下記の条件に対応できるようなやり方はあるでしょうか？

１、自動転送したい
２、社内PCにもメールは残るようにしたい
３、WEBメールから、相手にメール送信する際、
　　アウトルックのメアドで送りたい

WILLCOMのAdvanced/W-ZERO3(es)なら，外出先でもPC（Outlook）メールを送受信するなどの方法があるのは知っていますが…
参考になるかどうかは貴方次第です。

アウトルックそのものには転送機能はなかったと思いますが、プロバイダの設定によっては１と２はできる場合が多いです。
私はKddi他３つのプロバイダを利用していますが、２つはウェブ上で自分で設定でき、もう一つはプロバイダの担当者に直接お願いしてやって頂きました。
携帯に転送されると、いつでもチェックできて便利ですね。

ただ、転送先から送信する際のメアドはどうしても転送された先のアドレスになってしまうと思います。

何か他の技が有るかもしれませんが、これぐらいしか分からなくてすみません。

会社でお使いのメールアドレスは一般的なプロバイダのメールなのでしょうか？
それとも会社で取得しているドメインを使用したメールなのでしょうか？

↑のどちらになるのかで答えがちょっと変わります。

プロバイダからアドレスをもらっている場合だと、大抵のプロバイダが転送サービスを行っていますのでそちらの使用を検討されてはどうでしょうか？

会社のドメインを使用したメールアドレスの場合、転送するには…
　会社のサーバに到着した時点で自動的に転送処理してもらうか自席のパソコンの電源を入れたままにしてPC自身にメールを再送信させる方法が考えられます。
いずれにせよ、この場合は管理者などの許可が要ると思いますのでそちらも確認してみて下さい。