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小6の算数の問題『数の性質・公倍数の応用』
塾のテキストの問題です。『1から100までの整数の中で、3で割ると1余り、7で割ると5余る数のうち、最も大きい数を求めなさい』という問題です。分からないので教えて下さい!!でも、小6レベルなので簡単なやり方でお願いします!!
回答(6)
1.
３×７＝21と計算しておきます。21で割った余りは、
0, 1, 2, ... , 20のどれかになりますが、このうち、「7で割って5余る数」だけ抜き出すと、
5, 12, 19だけになります。この中で、「3で割って1余る数」だけ抜き出すと、
19だけになります。ということは、問題は
「1から100までの整数の中で、21で割って19余る数で最も大きい数」を答えるのと同じですので、あとは試していきます。
21×0＋19＝21 21×1＋19＝40 21×2＋19＝61 21×3＋19＝82 21×4＋19＝103で4かけると100を超えてしまうので、答えは下から2つ目の
82となります。
2.
(1)3で割った数を全て出し1を足していく
(2)7で割った数を全て出し5を足していく
(3)(1)と(2)の共通の答を抜き出す
(4)(3)で抜き出した答の中から一番大きい数字が最終的な答
でいいんじゃない？
そんな事しなくてもわかるけどさ(笑)
3.
割った数－２ が余りの数になっていますので、
３と７の最小公倍数２１（３×７）で割った余りが
３×７－２ （つまり１９）になるものを探せばよいです。
仮に、
２１にある数を掛けて１９を足したモノが１００になるとすると
２１×□ ＋１９ ＝１００
２１×□ ＝ １００－１９ ＝ ８１
□ ＝ ８１ ／２１ ＝ ３．８…
小数部を捨てると ３
２１×３ ＝ ６３
６３＋１９＝８２
８２は、３で割って１余り ７で割って５余るから
答え：８２
また、別のやり方
７の方に注目すると
７で割って５余る数とは、
７を掛けて５足した数
７×□＋５
仮に
７×□＋５=１００
とすると、（上記と同様に、小数部は捨てる）
□＝１３、その時の数は、９６
つまり、７の方の最大は９６なので、以降７を引いて調べる
９６：３で割り切れる
８９：２余る
８２：１余る
よって
答え：８２
4.
皆さんそんなに教えちゃっていいのかな？
ま、しかたないか
まず、３で割って１余るってことは３の倍数に２だけ足りないの。
７で割って５余るのも７の倍数に２だけ足りないの。
これがミソねっ★
なので３と７の公倍数で100にいっちばん近いのは
２１×４ で ８４
これに２足りないものは８４－２＝８２だよ～ん
でもこれって教科書レヴェルでよくある問題じゃん
夏休み後半もっとがんばれ～～～～～～
5.
先ず条件に合う最小の数をみつけます。
3で割って1余る数は、1 4 7 10 13 16 19 21…
7で割って5余る数は、5 12 19 26…
よって、題意の最小数は19と決まります。
では、最大はどうなるかというと、ここで発見した19を倍々した数に見当をつけます。
19の倍数 19 38 57 76 95 [114 133]
3で割った余り 1 2 0 1→ 2 [0 2]
7で割った余り 5 3 1 6→ 4 [2 0]
この表で、19の倍数を3で割った余りは"1 2 0 1 2 0 1…"と繰り返します。
また、19の倍数を7で割った余りは"5 3 1 6 4 2 0 5 3…"と繰り返します。
表を良く見ると、76と95の間に3で割って余りが1になる数の存在が期待できます。また同じ区間に7で割って余りが5になる数の存在も期待できます。よってこの区間を細かく調べ上げます。
下表は76を出発値にして、細かく調べるために小さい方の3を加えていったもので、そのときの余りを記してあります。
76 79 82 85 88 91 95
3で割った余り 1 1 1 1 1 1 1
7で割った余り 6 2 5 1 3 0 4
これで題意に合致する"82"という答えが求まります。
小学生に対して、何でも数式で解かせる方法は混乱を招くだけです。いろいろ書いてみて、そこから解法のアルゴリズムを発見することが基本です。この問題は、中学校になって数式の操作を覚えれば自然と身につきます。ただし「なまけない」ことが条件です。
（TABが使えないので、表が乱れていたら判読ください）
6.
３×７－２ が、
３で割って１余り
７で割って５余ること
３×７－２
－－－－－
３
３×６＋３－２
－－－－－
３
１
６＋ －－－
３
７についても同様
コメント(13)
ちなみに、「○で割った余りが□」という条件がいくつあっても必ず答えがあることは、中国の剰余定理（Chinese remainder theorem）として知られています。
＃この手の質問にこんなに回答がつくとは珍しいｗ
数が小さいのでノワールさんの回答２でも現実的にはもちろんできますね。テストでわからない場合はこの方法は有効ｗ
BLUEPIXYさんの回答３の最初の解と夏の夜の悪夢さんの回答４は
「３で割って１余り、かつ、7で割って5余る」
＝「３で割って-2余り、かつ、7で割って-2余る」
＝「21で割って-2余る」
＝「21で割って19余る」
というのを小学生に示すのは難しいような気がします。
回答５は間違ってます。考えなければいけないのは、21を法とする剰余類なのに19を法とする剰余類を考えてしまっています。
#3>小学生に示すのは難しいような気がします。
そうかもしれません、実際、今の小学生がどのように習っているのか知らないし…
しかし、この手の問題は、中学の入試問題として（つまり小６までの問題として）以前に見た(割る数－ある数が余りになっているという特徴がある)ことがあります。（おおむね解説も同様でした）
>>#4
私立中学受験とかならそうかもしれませんねー。一応、負の数も文字式も中学で習うことになっているので、「余りが-2」という説明は学習指導要領的にはNGで、一般に成り立つことを示すのもしんどいです。だからといって、悪いというわけではないですが・・・。
★オニキス☆さん
こんにちは。
小学生は学校（公立）でこのような問題は絶対にやりません。教科書にもでてきません。もちろん私立中受験問題ですね。よくでてくるレベルです。
余りが－２ではなくあくまで２足りないと図を使って説明されるように思います。
したがって夏の夜の悪夢さんの回答がしっくりくる感じがします。
姫奈さんは
いちおう小６とのことですが。。
ネットへのアクセスはwikipedia程度にとどめるべきでありあまり自由にいろんなところに行かないほうがいいですよ。
実はお姉さんとかお母さんが代わってアクセスなさっているのであれば お子様に塾で質問させるんがよろしいかと思います。
>>#6
まぁ表記の問題はちょっと失礼して、この問題のように、
x≡-2 mod.m
x≡-2 mod.n
というのがお約束問題で、このとき、
x≡-2 mod.(mとnの最小公倍数)
とするのが中学受験のパターンなのでしょうか？-2のところの数字がそれぞれ違う問題は、もしかして出ないのでしょうか？
もうひとつ気になるのは、教えるときに、いくつかの数字で試してみて成り立つよね？とかやってごまかすのかなーという疑問。一般に成り立つかどうかは明らかでないと思うのですが・・・。
小学校の授業中，退屈だから5000題とか自由自在でよくやった問題だから、学校レヴェルと書いちゃったけど、できない友達にも「あといくつ足したら割り切れるようになる？こっちもいっしょやろ？この手の問題は余りじゃなくて足らない方を見たらたいていおんなじ数字だから」といってパターンとして教えたら、一応解けるようにはなってました。
算数の＊＊算なんて方程式を立てるようになれば、どうせいらなくなる解法テクニックだから、小学5年くらいからもう簡単な方程式を教えたらどうなんだろ。
でも，自分はさんすうであれこれ試行錯誤するのが大好き人間だったけど。
>>#8
★オニキス☆先生
こんにちは
>>-2のところの数字がそれぞれ違う問題は、もしかして出ないのでしょうか？
そんなことはありません。
今回のような双方とも２足りないケースでは夏の夜の悪夢さんのほうが理解しやすいと思います。
足りない数がちがうケースは私ならおはじきの絵をつかいながら７は３の倍数の余り１というものだというところから説明します。
今回の問題なら３の倍数であり７の倍数+４のものを導きだすところから・・という具合ですがどうでしょう？
中学受験の解き方で「試行錯誤」によりほら同じだねという教え方は適切でない？というかあまりないような気がします。やはり図をつかって説明するのがわかりやすく論理的ではないでしょうか？
>>#9
夏の夜の悪夢さん
こんにちは
小学生では方程式で機械的に答えを導きだすのでなく解に至る論理展開が重要ですから方程式をおしえても○○算をおろそかにはできないと思いますがいかがでしょう。
いつのまにか質問者をほったらかしにしてしまいました。すいません。。。
>>#11
テリー・ギリアムさん
たしかにぃ（DAIGO風） 自分も回答４で『考えるって過程が大事』とは書いたけど、周りの子は旅人や時計やツルカメの脚ですっかり算数嫌いになって、中学で数学を見たとたん諦めたってのも大分いたみたい。
ガッコの中２くらいの連立方程式の方がよっぽど簡単なのに。
論理的思考展開なら小学校で急いで身につけなきゃいけない？どうも＊＊算は受験用の気がするけど。
質問者は均等ナイスでどっかにいっちゃったみたいだから気にしなくていいんじゃないですか(⌒ー⌒)ﾉ~~~
