なぜお医者さんとか調理する人とかは「白衣」を着てるのですか？
なにか意味があるのでしょうか？

いまは制服も同然になってしまっているので、後付けの理由はいくらでも考えられますが、「そもそも」ということを考えると・・・むずかしいですね。

たとえば医者の起源は床屋だということが言われています（ただ、現在でいう床屋とは違い、刃物商のようなものであったとか）。
床屋さんのお店の前にあるあのねじりん棒の赤と青は動脈と静脈で、白が白衣ですね。
じゃあ、なぜその床屋が白衣を着るようになったのかというと、さっぱりわかりません。
当時の床屋はいまでいう外科医として、瀉血などの治療行為をしていましたが、こちらの絵では黒い腹を着ていますし。


ただ、白衣というのは、なにも床屋の専売特許ではなく、いわゆる各種の宗教儀式のときに着たりというようなこともあったようです。
そういう「白」に対する特殊な意味合いと、白い服なら染める必要もないので作業着として廉価にできるなど・・・さらに清潔感があるとか、汚れが目立ちやすいとか、そういうメリットなどが合わさって、現在白衣を着用する職業の人たちが着るようになったのではないかと推測できなくはない、かも？

こうした西洋起源の白衣と関係があるのかないのかわかりませんが、起源は2500年前のインドだという説がこちらに出ています。


現代において白衣を着る理由というのは、いんこさんのおっしゃるとおりだと思います。
ひとつの作業着としてですね（簡単な防護服といってもいいですが。とくに医師や化学実験などをする人においては・・・まあ、民間の化学会社などでは白衣なぞ着ないようですが）。
でも、医師の（不潔な）白衣が院内感染のもとだということで、それを廃する動きもあるようです（手術着はそんなことないでしょうけど）。
そう考えてみると、衛生的でないといけないコックさんの着てる白衣も・・・きれいなものばかりじゃないように見えます。
本来の意味が薄れて制服化してしまった弊害でしょうね。

医者は
「自分が病気に罹らないようにする為に」
「自分が病気を振りまかないようにする為に」
あれは作業着なので、色は何でもよいわけだけど、

白衣だと医者としての信頼感を与えられる。
お医者サマに見てもらったら治る、という思い込みを与えられる。というメリットあり。

逆に「白衣高血圧症」というのがあって、家ではどうもなくても医者の白衣を見ると血圧が上がる人もいるそうですが。

板前さんは清潔感を与えるということでしょう。
白は汚れが目立つので洗濯の時期も判りやすいし。

答えは簡単

清潔第一でなければならないからです、白は汚れると直ぐ分かる。