平方根の問題について・・・
なぜ、√2+√3=√5にならないのか、詳しく説明してください。

とある学校の面接試験の内容を調べていたところ、「√2+√3=√5にならない理由を、1分以内に黒板に説いてください。」というのが出されたそうです。
とっくに分かりきった話なのですが、いざ説明しようとするとなかなか・・・
自分にその質問が出されることはまずなさそうなんですが、簡潔且つ分かりやすく教えてくださる方がいらっしゃいましたら、宜しくお願いします。1分以内にいえるような内容で。

2=a 3=b 5=a+b
とおいて、両辺２乗すれば？

このテの問題は「演繹法」をもちいます。
もし「a=b」が成り立つと仮定して、その仮定が矛盾することを導き出せればいいのです。
……と仮定する。
……<中略>……
……これは矛盾である。
よって最初の仮定は成立し得ない。
が言えればいいのです。

いんこさんの回答がまさにこれです。
頭脳のよしあしでなく、演繹法を使いこなしているかをみる良問ですね。
ついでですが、「帰納法」の方もお忘れなく。

普通の平方根の計算みたく、√２＋√３を√５とは計算できないことに注意します。√2、√3の平方根は無理数であり小数点以下が続き、整数の比で表すことができません。なので、これ以上小さくできないのでここで終了です。で、加減ができるのはどんな場合か？というと、根号の中の数が同じになっている場合です。

例えば、２√５＋４√５は、√５が２つと√５が４つで
合計√５が６つになるから、２√５＋４√５＝６√５と
計算できます。つまり、根号の中の数が同じなら外側の
数を加減すればいいということ。
よって、
（√2＋√3)×2＝(√2)×2＋2×√2×√3＋(√3)×2
　　　　　　＝2＋2√6＋3
　　　　　　＝5＋2√6

ですが、√2＋√8などは一見根号の中の数が違っているから一見できなさそうだけど、√8は根号の中の数を小さくでき、√8は、√8=√4×√2=√(2×2乗）)×√2で、2√2になりますね。
√2＋√8＝√2＋2√2(√2が１個と2個で)＝3√2とできます。

√x は、２乗してxになる数なので、
a+b=c
の時、
ｃの２乗は(a+b)^2=a^2+b^2+2ab
なので、c^2!=(ノットイコール)a^2+b^2

平方根は、正方形の一辺の長さなんだから、

┏━━━━┓
┃　│　　┃←一辺が√3
┃　│　　┃
┠─┼──┃
┃　│　　┃
┗━━━━┛
 ↑一辺が√2

√2+√3を一辺とする正方形の面積は、明らかに5を超える。

√x は、２乗してxになる数なので、
√２は、１．４～１．５の間にあることが２乗すれば容易に確認できる。
同様に
√３は、１．７～１．８の間にある。
なので、
√２＋√３は、少なくとも３．１より大きいが
これは、二乗すると９より大きいので
√５にはならない

相加相乗平均の定理から
a+b≧2√a*b
この式にa=√2,b=√3 を当てはめると
√2+√3≧√√96
ところが、√5=√√25
なので、
√2+√3=√5 にはならない

かつて海軍兵学校の面接試験で出されたという質問に通じるところがありますね。
求められているのは「正解」ではなく、予期しなかった（であろう）問題に遭遇したときにの「対処の仕方」すなわち「思考の柔軟性」と「応用力」を試す問題ですね。

答えとしては１でいいと思います。

ちょっと別の視点からの答えです。

面接では、この問題への準備も大事かもしれませんが、想定していない、あるいはこの問題のようにとっさには答えられない問題が出たときにどう対応するかも大事なことです。何パターンか、対応方法を事前に考えておいた方がいいでしょう。

この種の問題であれば、答えが出なくとも、解法に近いアイデアをいくつか出すのがウケがいいとは思います。実際、今後、１分で解答しないといけない問題というのはそうはないわけですから、この問題を１分でできなかったから不合格、ということはないと思うのです。面接では対応を見るのです。いろいろな発想方法を思い起こすような姿勢を見せるなど、出された問題を真剣に考える姿勢を示せば、それでいいのではないかと思います。