NPOとは何の略ですか？NPOは自称しても良いのでしょうか？

Non-Profit Organization 又は Not-for-Profit Organizationの略ですね(直訳すると非営利組織又は非営利機構)
NPOという言葉自体は元々自称しても問題ないですが、特定非営利活動促進法第四条の『特定非営利活動法人以外の者は、その名称中に、「特定非営利活動法人」又はこれに紛らわしい文字を用いてはならない。』に当てはまる可能性が少なからずあるので(NPO法人以外は)使わない方が無難です。

Non Profit Organizationの略で、上のWebページによると「民間非営利組織」と訳すようです。

一応NPO法に基づくNPO法人格になるので、申請して認可を得る必要があります。税制の面で優遇されていたり、法人格になるので任意団体より契約などの面で有利になったりするようです。

法律が出来た当初は、税制面での有利さを狙って営利法人だろうと思われる活動までNPO法人として行っていたりということがあったようですが、活動内容によっては一般の法人課税の対象になるよう物もあるようです。
また、定められた期間ごとに帳簿などの公開の義務があるため非営利団体とはいえ組織の維持には手間がかかりそうです。