livedoorブログでリンクする部分にマウスを乗せたときに
音が出るようにしたいのですが可能でしょうか？

ＨＴＭＬでは、何かをした時に、こういう音を出すというような標準が無い（おそらく無かったと思う）ので、
JavaScript で、音を出すアプレットなどを操作するような感じで、
（全てのブラウザで動くとは限らないという前提の下）可能だと思う。

ただ、ライブドアブログの場合、「音」のファイルが、動画としてでないと（無料版では）アップできないので、他にファイルを置くサーバーを用意するか、有料版にする必要があると思います。