数学の入試問題なのですが、どう解けばいいのか教えてください。

袋の中にk個(1≦k≦N-1)の玉が入っている。いまサイコロを振り、1の目が出れば袋から玉を1個取り出し、他の目が出れば玉を１個袋の中に入れる。袋の中に玉がなくなるか、またはN個になるまでこの操作を続けるとする。袋の中に最初k個の玉が入っているとき、ついに袋の中に玉がなくなってしまう確率をp[k]で表す。
(1)1≦k≦N-1に対し、p[k]をp[k-1],p[k+1]を用いて表せ。ただし、p[N]=0,p[0]=1とする。
(2)p[k]をk,Nを用いて表せ。

まず，
○　　○　　○　　○　・・・　○　　　○　　　○　・・・○　　　○
と○を並べて，それぞれの○の中に，
０　　１　　２　　３　・・・　k-1　　k　　k+1　・・・N
と数字/文字を記入しましょう．記入した数字は袋の中にある玉の数だと考えて，○を「状態」と呼ぶことにします．次に，０とN以外の状態の左右に矢印を書きましょう．←向きは「玉を1個取り出す（＝1の目が出る）」，→向きは「玉を1個入れる（＝1以外の目が出る）」意味です．

p[k]=（1回で終了する確率）＋（２回で終了する確率）＋・・・
と無限級数なので，「最初」という言葉に惑わされないようにしましょう．

(1) 状態k（袋の中にk個入っている）にあったときに，1の目が出たとすると，状態(k-1)に遷移しますが，ここから状態０かNに（いつか）到達する確率は状態(k-1)からスタートしたときと同じですので，p[k-1]と書けます．(k+1)に遷移したときも同様に考えられますので，
　p[k]=1/6 ×p[k-1]　＋　5/6 ×p[k+1]
となります．

(2) さきほどの漸化式の両辺を6倍して，
　6 p[k] = p[k-1]　＋　5 p[k+1]
なので，特性方程式
　6 t = 1 + 5 t^2
が，
　(t - 1)(5t - 1)=0
となることを確認して，
　p[k+1] - p[k] = 1/5 (p[k] - p[k-1])
　5p[k+1] - p[k] = 5p[k] - p[k-1]
と2種類に変形しておいて，
　p[k+1] - p[k] = (p[1] - p[0])×(1/5)^k
　5p[k+1] - p[k] = 5p[1] - p[0]
となります．（x^nはxのn乗と読んで下さい．）上の方の式を5倍して両辺を引くと，
　-4 p[k] = (p[1] - p[0])×(1/5)^(k-1) - 5p[1] + p[0]　・・・(A)
が得られます．p[1]が未知ですので，さきほどの2式でk=N-1とすると，
　p[N] - p[N-1] = (p[1] - p[0])×(1/5)^(N-1)
　5p[N] - p[N-1] = 5p[1] - p[0]
なので，
　-4 p[N] = (p[1] - p[0])×(1/5)^(N-1) - 5p[1] + p[0]
となります．ちなみに，(A)でk=Nとしたのと同じですが，1≦k≦N-1なのでこの代入はできません．よって，
　-4・0 = (p[1] - 1)×(1/5)^(N-1) - 5p[1] + 1
　p[1] = {(1/5)^(N-1) - 1} / {(1/5)^(N-1) - 5} = (1 - 5^(N-1)) / (1 - 5^N)
となり，再び（A)より，
　-4 p[k] = (p[1] - 1)×(1/5)^(k-1) - 5p[1] + 1
を整理して，
　p[k] = {1 - (5^(N-1)/5^(k-1))}/(1 - 5^N)
となります．