雇用契約書はトラブルがあった後でももらえますか？

職安で紹介を受けた企業(福祉施設関係)に面接に行き、その日に合格しました。
4/1日～4/5内4日間入社式と研修を行いました。しかし、その研修中組織図を見たら、職安で紹介を受けた仕事内容と違いました。(作業療法士らのリハビリの助手→老人の排泄処理などの介護職)
話が違うと言ったら『貴方には介護職で働いて欲しい』と言われました。そこで初めて介護職の勤務時間や勤務地について話されました。勤務時間も8:30～17:30までと書いてあったのに、早番、遅番、当直もあると言われました。そして、勤務地も違うところになるかもしてない。と言われました。私は『リハビリ助手にはなれないのですか？』と聞いたら『厳しい』って言われました。
こんなに話が違うなら、辞めようと思ってます。
労働基準監督署に行って研修で出勤した時の賃金＆交通費を請求したいのですが出来ますか？
このとき、雇用契約書ってあると良いと思うのですが、まだもらっていません。今から企業に書いてもらいたいのですが、書かせることは出来ますか？また内容は求人票の内容でいいのですか？

まず職安にこれまでの経緯を報告すべきでしょう。
それに詳しい事はここで聞くより、職安で聞いた方がいいですよ。

労基法１５条１項は、「使用者は、労働契約の締結に際し、労働者に対して賃金、労働時間その他の労働条件を明示しなければならない。」と規定しています。明示すべき労働条件の中に、「就業の場所および従事すべき業務に関する事項」「労働時間に関する事項」も定められています。したがって、わっこさんはトラブルがあろうがなかろうが労基法１５条１項に規定された文書（一般用語では雇用契約書といいます）の交付を会社に求めることが出来ます。
また、研修で出勤した時の賃金＆交通費については、会社の指揮・命令による研修であれば、業務に該当し、当然にこれらを請求出来るものと思われます。