数学の極限についてですが、
片側極限値というものを習ったんですが、
x→a+0,x→a-0　この二つが存在して等しい時、
その値が極限値lim(x→a)f(x)である。

って書いてあったんですが、
x→a+0,x→a-0が等しくないときは値が存在しないだけですか？
それとも関数自体なりたたないのですか？
教えてください。

x→a+0,x→a-0が等しくない場合には関数が不連続ということですが、そういう関数は存在します。

例えば、１/（ｘ－a）という関数は、ｘがa-0に近づくとき関数値は-無限大に近づき、ｘがa+0に近づくとき関数値は+無限大に近づきます（ｘ＝aでは関数は不連続であり、この点での関数値は定義されていないとするのが通常です）。

関数値が不連続で定義されないとするのが不便と考える場合には、特にそういった不連続点での関数値は例えばx→a＋0の値と同じとすると定義することもできます。例えば、階段みたいなステップ関数の場合にそういった風に定義したりします。この場合、ステップで関数値が上がったステップの左端に黒丸、ステップの終わり右端のところには白丸をつけたりして表示します。

数学での関数とは、変数値（x）に値を入れた場合に関数値は一意に定まりさえすればいいということです（不連続点で関数値が定義されないのは構いません。要するに、関数とは、ｘからf(x)への一意的マッピングです）。

x→a+0,x→a-0が等しくない関数は存在します。
例を挙げてみてください。

具体的な関数で実際に計算して考えてみてください。
ちょっと、Excelなどの表計算ソフトで計算してグラフを書かせてみれば納得がいくとおもいますよ。

数学というのは、考えて考えて、あるときぱっとひらめいて理解する、というところが面白いのだと思います。
自分でいろいろな関数をグラフにしてみて、どういう特徴があるか調べてみるのが、遠回りのようで近道です。調べてみれば、面白い関数があることに気づくと思います。

余計なお世話かもしれませんが。

値が存在する場合も存在しない場合もあります。
関数としては成り立ちます。（多価関数含めて）

下の３例はいずれも　0-0 は 0, 0+0 は 1 です。
コメント２さんの書かれた階段関数を参考にしました。

例１） f(x)=0 (x<0)、f(x)=a (x=0)、f(x)=1 (x>0)
　この場合は値があります。

 a は、中間の 0.5, あるいは 0, 1 でもいいし、それ以外でもいい

例２）　f(x)=0 (x<0)、x=0 では定義なし、f(x)=1 (x>0)

例３）　f(x)=0 (x<=0)、f(x)=1(x>=0)　

 この場合、x=0では多価です。

一応、Wikipedia 関数（数学）
)
と Wikipedia 階段関数

を挙げるだけ挙げておきます。