「submitはするけど画面遷移は行わない」という処理は実現可能でしょうか？　post先は別ドメインです。

同一ドメイン内であればXMLHttpRequestが使えるのですが、別ドメインの場合はどうしたら良いでしょうか？

自ドメインに XMLHttpRequest() で post してそこから他ドメインへ proxy して post してレスポンスを返してはいかがでしょう。

確かに無理ですね。同じ問題への対処に、同じサーバへ置いて対処したことがあります。
例えばRSSの取得ならば、いったん別のCGIで読み込んで処理する・・・のような記事は見かけたことがありますよ。今回ならば自サーバでXML形式から何らかの形式、CSVなどへ変換してから別サーバへ渡すという方向を模索してはいかがでしょう。

.NETなら出来ると思いますよ、

また、Flash/Flexなどを使えば可能なのではないでしょうか？

他の方法として、2段階処理にすれば、画面遷移しなくてすむのでは？
バックグラウンド処理で他ドメイン先にPost処理をするようにしておけば画面遷移は必要ないですよね。