読者申請を承認すると、どういった利点があるのでしょう。

こちらが承認して相手のリンクを載せても、相手が載せてなければアクセスアップにつながらないと思うのですが。相互リンクの方がアクセスアップにつながると思うのですが。いまいち、読者登録と相互リンクの違いがわかりません。教えていただければ幸いです。

私は、読者登録については
「このブログはこんなにたくさんの人からみれていて、
　人気があるんだ。」
と言うことを証明するものだと考えています。
また、読者登録の申し込みがあるだけでも読まれていると言う安心ができると思います。

一方相互リンクはお互いにこれから仲良くして、なおかつアクセスアップを目的としたものだと私は考えます。

これはあくまで私自身の考えですから参考にしてください。

相互リンクというのは、単にリンクを張りあうだけで、相手のブログに対して興味はないですよね。
その点、読者申請は、自分のブログの読者という立場になりたいのですから、興味を持ってくれていると言えます。

しかし、自分のブログにお気に入りのプラグインを付けない場合は、トラックバックスパムと大差ないでしょう。

わたしは、1月待って、お気に入りを出さないところは、読者から削除しています。（最初は出しても後から外すところあるのですが。）

アクセスアップのみを考えているのなら、大差ないでしょう。
ブログに重みは付くと思いますが。